Wzór na macierz odwrotną krok po kroku
- Szczegóły
Macierz odwrotną możemy obliczyć za pomocą wzoru lub za pomocą metody Gaussa (inaczej nazywaną też metodą bezwyznacznikową lub metodą dołączonej macierzy jednostkowej). Mam nadzieję, że odwracanie macierzy jest już dla Ciebie w 100% zrozumiałe.
Co to jest macierz?
Macierz to uporządkowana tablica liczb, w której pozycja każdego elementu jest określona przez numer wiersza i kolumny w którym ten element występuje.
Poniżej przykład macierzy A, która posiada 4 wiersze (liczymy poziomo) i 3 kolumny (liczymy pionowo):
\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]\]Teraz pytanie do Ciebie, jaka liczba stoi w 2 wierszu i 2 kolumnie macierzy A? Oczywiście, ta liczba to 2.
Macierze oznacza się dużymi literami alfabetu, np. A,B,C, natomiast elementy macierzy (czyli liczby, które występują w macierzy) oznacza się małymi literkami, np. elementy macierzy A oznacza się literką a.
Przeczytaj także: Wszystko, co Musisz Wiedzieć o Wodzie Destylowanej
Dodatkowo, aby wskazać pozycję elementu w macierzy A dodaje się numer wiersza i kolumny w którym ten element stoi, tj. \(a_{ij}\), gdzie \(i\) to numer wiersza, a \(j\) to numer kolumny, w której stoi dany element. Często spotykany jest zapis \(A=[a_{ij}]\) lub \(A=(a_{ij})\), gdzie \(i=1,2,\ldots,m,\, j=1,2,\ldots,n\), który stosuje się do opisania macierzy A, która posiada elementy oznaczone przez \(a_{ij}\).
Wracając do naszego wcześniejszego przykładu, możemy napisać, że \(a_{22}=2\) i w ten sposób oznaczymy element macierzy A, który występuje w 2 wierszu i 2 kolumnie.
Wymiar macierzy
Wymiar macierzy to "liczba wierszy x liczba kolumn" np. macierz wymiaru 2x3 (czyta się macierz wymiaru 2 na 3), to macierz posiadająca 2 wiersze i 3 kolumny.
Macierz wymiaru nxn, czyli o takiej samej liczbie wierszy i kolumn, nazywa się macierzą kwadratową. Gdy macierz jest wymiaru nxn (jest kwadratowa), to mówi się o, że jest stopnia n, np. macierz wymiaru 2x2 jest macierzą stopnia 2, a macierz wymiaru 4x4 jest stopnia 4.
Formalnie każdą macierz wymiaru mxn możemy zapisać w następującej postaci:
Przeczytaj także: Budowa oczyszczalni rozsączającej w Polsce - formalności
\[A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\]CIEKAWOSTKA: Macierze mają bardzo wiele praktycznych zastosowań w matematyce (np. do rozwiązywania układów równań), w informatyce (np. do zapisywania i przetwarzania danych), w grafice (np. do reprezentacji obiektów). Macierze, oprócz liczb zespolonych, są jednym z najważniejszych działów algebry liniowej.
Macierze, a układy równań liniowych
Jak się okazuje każdemu układowi równań odpowiada macierz zawierająca współczynniki liczbowe występujące w każdym z równań.
Przykład
układowi równań
\[\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&3y&=&5\\3x&-&2y&=&1\end{array}\right.\]odpowiada macierz, której elementy są współczynnikami występującymi w równaniach:
Przeczytaj także: Bezpieczeństwo chlorowania alkanów
\[\left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\3&-2&1\end{array}\right]\]często stosuje się zapis w postaci tzw. macierzy blokowej (rozszerzonej):
\[\left[\begin{array}{cc}2&3\\3&-2\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\]Pierwszy wiersz powyższej macierzy zawiera elementy 2,3 i 5, które odpowiadają współczynnikom liczbowym przy x,y oraz wyrazowi wolnemu w pierwszym równaniu naszego układu równań.
Drugi wiersz powyższej macierzy zawiera elementy 3,-2 i 1, które odpowiadają współczynnikom liczbowym przy x,y oraz wyrazowi wolnemu w drugim równaniu.
Macierz, która opisuje cały układ równań liniowych nazywa się macierzą rozszerzoną układu, natomiast macierz zawierającą tylko współczynniki występujące przy niewiadomych (bez wyrazów wolnych) nazywa się macierzą współczynników układu.
W ogólnym przypadku, układowi równań:
\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\]można przypisać macierz zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\) oraz wyrazy wolne \(b_1,b_2,...,b_m\):
\[\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}&b_m\end{array}\right]\]w równoważnej postaci blokowej możemy tą macierz zapisać tak:
\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots \\ b_m\end{array}\right]\]Macierze znacznie ułatwiają rozwiązywanie układów równań liniowych, ponieważ upraszczają zapis, ale przede wszystkim dostarczają metod (wyznacznik, macierz odwrotna, operacje elementarne), które pozwalają rozwiązywać układy.
Równość macierzy
Macierze A i B są sobie równe tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
- Wymiary macierzy A i B muszą być takie same (jeżeli A jest wymiaru mxn to B też musi być wymiaru mxn)
- Wszystkie elementy o tych samych współrzędnych w macierzach A i B muszą być takie same (identyczne), tzn.\[a_{ij}=b_{ij}\,\,\, dla\,\,\, i=1,2,...,m,\,\,\,j=1,2,...,n\]
Przykład 1
Jeżeli:
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]to \(A=B\), ponieważ oba warunki równości macierzy są spełnione.
Przykład 2
Jeżeli:
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 2\\3\\1\\4 \end{bmatrix}\]to \(A\neq B\), ponieważ wymiary macierzy A i B nie są idntyczne (A jest wymiaru 1x4, natomiast B jest wymiaru 4x1)
Przykład 3
Jeżeli:
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]to z definicji równości macierzy wynika, że
\[a=d=1,\,\,\,\,b=c=0\]UWAGA: Równość macierzy wykorzystuje się bardzo często przy rozwiązywaniu równań macierzowych, a w szczególności układów równań liniowych.
Rodzaje macierzy
Macierz zerowa
Wśród wszystkich macierzy szczególne znaczenie ma macierz zerowa wymiaru mxn, której wszystkie elementy są równe zero, czyli
\[a_{ij}=0\,\,\,dla\,\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\]\[0_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}0&0&\ldots&0\\0&0&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&0\end{array}\right]\]Przykład macierzy zerowej wymiaru 2x3:
\[0_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]\]Macierz diagonalna
Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, która posiada poza przekątną same zera, czyli
\[a_{ij}=0\,\, dla \,\,i\neq j,\,\,\,i,j=1,2,\ldots,n\]\[D_{n}=\left[\begin{array}{cccc}d_1&0&\ldots&0\\0&d_2&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&d_n\end{array}\right]\]Macierz diagonalną często oznacza się przez \(diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)\), gdzie \(d_i=a_{ii}\), są elementami występującymi na przekątnej.
Przykład macierzy diagonalnej stopnia 4:
\[D_{4}=diag(2,0,-5,2)=\left[\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-5&0\\0&0&0&2\end{array}\right]\]Macierz jednostkowa
Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, która posiada na przekątnej jedynki i poza przekątną same zera, czyli
\[a_{ii}=1\,\,\,i\,\,\,a_{ij}=0\,\,\,dla\,\,\,i\neq j,\,\,\,i,j=1,2,\ldots,n\]\[I_{n}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&\ldots&0\\0&1&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&1\end{array}\right]\]Macierz jednostkowa jest macierzą diagonalną, której wszystkie elementy stojące na przekątnej są równe 1, czyli \(I_n=diag(\underbrace{1,1,\ldots,1}_{n})\)
Przykłady macierzy jednostkowej stopnia 1,2 i 3:
\[I_1=[1],\,\,\,I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\,\,\,I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\]Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dodawać i odejmować można jedynie macierze tych samych wymiarów.
Dodawanie macierzy polega na dodaniu do siebie elementów obu macierzy o tych samych współrzędnych (element macierzy wynikowej stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie utworzony jest przez dodanie do siebie elementów obu macierzy stojących w i-tym wierszu i j-tej kolumnie), np.:
\[\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\-2&0&1\\-3& 6&0\\-2&1&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+3&-4+1&5+2\\0-2&2+0&-1+1\\4-3&2+6&1+0\\2-2&4+1&-6+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4&-3&7\\-2&2&0\\1&8&1\\0&5&-1\end{array}\right]\]Dodawanie macierzy \(A\) i \(B\) (tych samych wymiarów) oznacza się przez \(A+B\). Odejmowanie macierzy polega na odjęciu od siebie elementów obu macierzy o tych samych współrzędnych. Oto przykład.:
\[\left[\begin{array}{ccc}1&-4&5\\0& 2& -1\\4& 2&1\\2&4&-6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\-2&0&1\\-3& 6&0\\-2&1&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1-3&-4-1&5-2\\0-(-2)&2-0&-1-1\\4-(-3)&2-6&1-0\\2-(-2)&4-1&-6-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2&-5&3\\2&2&-2\\7&-4&1\\4&3&-11\end{array}\right]\]Odejmowanie macierzy \(A\) i \(B\) (tych samych wymiarów) oznacza się przez \(A-B\).
Jeżeli \(A=[a_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\), \(B=[b_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\), to \(A\pm B=[a_{ij}\pm b_{ij}]\), \(i=1,2,\ldots,m,\,j=1,2,\ldots,n\).
Schemat dodawania i odejmowania macierzy możemy zapisać następująco:
\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\pm\left[\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\ldots&b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}\pm b_{11}&a_{12}\pm b_{12}&\ldots&a_{1n}\pm b_{1n}\\a_{21}\pm b_{21}&a_{22}\pm b_{22}&\ldots&a_{2n}\pm b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2}\pm b_{m2}&\ldots&a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right]\]Iloczyn macierzy przez liczbę
Iloczyn macierzy przez liczbę polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez liczbę, oto przykład:
\[2\cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\cdot 2 &2\cdot 3 &2\cdot 1 &2\cdot 4\\2\cdot (-1) &2\cdot 2 &2\cdot 0 &2\cdot 1\\2\cdot 2 &2\cdot 2 &2\cdot 0 &2\cdot 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 & 8\\ -2 & 4 & 0 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]Mnożenie liczby przez macierz jest przemienne, więc kolejność w jakiej wykonujemy mnożenie jest dowolna:
\[2\cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot 2=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 & 8\\ -2 & 4 & 0 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n\), to \(\,\,c\cdot A=A\cdot c=[c\cdot a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n\).
tags: #wzór #na #macierz #odwrotna #krok #po
