Proporcjonalność odwrotna: Wzór, wykres i własności
- Szczegóły
W rozdziale o funkcjach omówione zostały zależności wprost proporcjonalne. Teraz zajmiemy się wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Przykłady proporcjonalności odwrotnej
Wielkości przedstawione w poniższych przykładach charakteryzują się tym, że wzrost jednej z nich powoduje takie zmniejszenie drugiej, że iloczyn tych wielkości pozostaje stały.
Przykład 1: Koszt druku ulotek
Szkoła przeznaczyła kwotę 270 zł na wydruk ulotek promocyjnych. Ceny proponowane za usługę wydruku tej samej ulotki w różnych drukarniach zebrano w tabeli.
| Cena wydruku 1 ulotki (p) [zł] | Liczba ulotek (r) [szt] |
|---|---|
| 0,10 | 2700 |
| 0,15 | 1800 |
| 0,20 | 1350 |
| 0,25 | 1080 |
| 0,30 | 900 |
| 0,40 | 675 |
| 0,45 | 600 |
| 0,50 | 540 |
Za każdym razem koszt wydruku wszystkich ulotek jest taki sam: p∙r=270. Zauważmy, że im wyższa cena jednostkowa wydruku, tym mniej ulotek możemy wydrukować za podaną kwotę.
Przykład 2: Czas przejazdu autostradą
Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas potrzebny na przejazd tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości, z jaką porusza się pojazd. Zależności między tymi wielkościami przedstawia tabela.
Przeczytaj także: Sterowniki i usterki ASUS K52J
| Średnia prędkość (v) [km/h] | Czas przejazdu (t) [h] |
|---|---|
| 80 | 3,75 |
| 85 | ok. 3,5 |
| 90 | ok. 3,3 |
| 95 | ok. 3,2 |
| 100 | 3 |
| 110 | ok. 2,7 |
| 120 | 2,5 |
| 130 | ok. 2,3 |
Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu (v), to czas przejazdu (t) jest coraz krótszy.
Przykład 3: Prostokąty o stałym polu
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o bokach x, y, których pole jest równe 12. Pola prostokątów są równe x∙y=12. Iloczyn jest stały, a zwiększenie długości jednego z boków powoduje proporcjonalne zmniejszenie długości drugiego boku.
Proporcjonalność odwrotna - definicja
O zmiennych mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni. Przyjmujemy, że jeśli jeden robotnik wykonuje pewna pracę w pewnym czasie, to czterech robotników wykona tę pracę w czasie cztery razy krótszym, a dziesięciu robotników w czasie dziesięć razy krótszym.
Wykres proporcjonalności odwrotnej
Wykresem funkcji , gdzie , jest hiperbola.
Proporcjonalność odwrotna w edukacji
O proporcjonalności odwrotnej uczniowie dowiadują się obecnie w gimnazjum, a w zreformowanej szkole będą spotykać się z nią pod koniec szkoły podstawowej. Z funkcjami wymiernymi mają do czynienia z kolei uczniowie szkół średnich, przystępujący do matury z matematyki na poziomie podstawowym. Natomiast funkcję homograficzną znajdujemy wśród zagadnień matury rozszerzonej. O wszystkich tych pojęciach moglibyśmy właściwie mówić niezależnie od siebie, jednak warto starać się pokazywać uczniom matematykę jako całość, jako spójną naukę o powiązanych ze sobą obiektach. Dzięki temu możemy pokazywać naszym podopiecznym to, że z pewnymi pojęciami mieli już wcześniej styczność, wskazywać, że są one szczególnymi przypadkami innych zagadnień.
Przeczytaj także: Zastosowanie wężyków do filtra osmozy
Powinno to pomóc uczniom w ich zrozumieniu i ułatwić przyswojenie nowej wiedzy. Często jednak nie mamy wystarczająco dużo czasu, aby przy omawianiu pojęć bardziej złożonych wracać do tych wcześniejszych, których uczniowie mogą po prostu nie pamiętać. Dla przykładu narysujemy wykres, który będzie przedstawiał zależność między prędkością, z jaką będziemy się poruszać, a czasem, w jakim pokonamy wyznaczony dystans. Tabelę taką możemy wykonać również w GeoGebrze, po wyświetleniu arkusza kalkulacyjnego. Możemy ją także umieścić w obszarze roboczym jako obraz wykonany w innym programie. Jeżeli zdecydujemy się na tabelę w arkuszu GeoGebry, będziemy mogli dodatkowo ją wykorzystać.
Będzie to jednak możliwe pod warunkiem, że sami wpiszemy tylko nagłówki, nazwy oraz pierwszy wiersz - argumenty funkcji. Drugi wiersz powinniśmy uzupełnić, odwołując się do wzoru funkcji. Dodatkowo, jeżeli zaznaczymy w arkuszu obszar, w którym wpisane są prędkości i odpowiadające im czasy, możemy utworzyć Listę punktów (opcja dostępna po kliknięciu prawym klawiszem myszy). Pozostanie nam tylko wprowadzenie drobnej korekty, jeśli chodzi o samą funkcję. Proporcjonalność odwrotną rozpatrujemy w tym wypadku dla argumentów dodatnich. Dlatego możemy podać nową funkcję, dla której określimy dziedzinę jako przedział - przykładowo: (0, 200) - a następnie wyświetlić wykres tylko tej nowej funkcji, dopasowując odpowiednio parametry okna.
Oczywiście, w momencie uogólnienia bardzo szybko będziemy mogli wrócić do funkcji f, określonej dla liczb rzeczywistych różnych od 0, i wyświetlić jej wykres. Możemy też zmieniać argumenty wpisane w tabeli, dla których obliczane są wartości funkcji. Jeżeli będziemy chcieli pójść jeszcze o krok dalej, możemy wprowadzić także możliwość zmiany wzoru wyjściowej funkcji. Będzie nam do tego potrzebne Pole tekstowe, przy wprowadzaniu którego jako obiekt powiązany wskazujemy funkcję f, a w opisie podajemy „ f(x) = ”. W oknie programu pojawi się pasek, w którym bardzo łatwo możemy wpisywać interesujące nas wartości licznika ułamka (również ujemne). Rozwiązanie to pozwoli nam szybko przejść od konkretnego przykładu do uogólnienia i przeprowadzenia wnioskowania na temat własności funkcji i jej wykresu w zależności od współczynnika we wzorze.
Jeżeli chodzi o funkcję wymierną, to w GeoGebrze nie będziemy mieli możliwości stworzenia zbyt uniwersalnego narzędzia. Nie pozwala nam na to ogólność definicji i możliwość bardzo różnorodnego dobierania wielomianów znajdujących się w liczniku i mianowniku we wzorze funkcji. Możemy jednak wykorzystać program jako generator wykresów dowolnych funkcji wymiernych. Wystarczy, że poprawnie wpiszemy ich wzory. Musimy pamiętać, aby wyrażenia, które mają być w liczniku i mianowniku, były ujęte w osobne nawiasy. Dzięki temu będziemy mogli sprawdzić na przykład, czy poprawnie wyznaczyliśmy dziedzinę funkcji albo jej miejsca zerowe. Jeżeli dodatkowo wykres funkcji posiada asymptoty, możemy je wyświetlić po wpisaniu polecenia Asymptota(h) - w nawiasie podajemy nazwę funkcji.
Przechodząc do omawiania funkcji homograficznej, możemy podejść do tematu na dwa sposoby. Jednym z nich jest przedstawienie wykresu tej funkcji jako powstałego z wykresu proporcjonalności odwrotnej poprzez przesunięcie. Możemy tutaj wykorzystać plik, który przygotowaliśmy na początku. Wystarczy ukryć niepotrzebne nam w tym momencie obiekty i wprowadzić dwa suwaki: p i q, których wartości będą odpowiadały za przesunięcie. Na koniec wpisujemy wzór nowej funkcji jako: f(x-p)+q. Tak jak w poprzednim przykładzie, możemy wyświetlić także asymptoty nowej funkcji.
Przeczytaj także: Odwrócona osmoza: Twój przewodnik
Drugim sposobem podejścia do funkcji homograficznej jest stworzenie narzędzia, które pozwoli wygenerować wzór i wykres dowolnej funkcji po podaniu współczynników a, b, c, d. Potrzebne nam będą do tego cztery suwaki o nazwach odpowiednio: a, b, c, d. Oczywiście, warto też wyświetlić asymptoty wykresu rozpatrywanej funkcji. Aby plik był kompletny, powinniśmy jeszcze zabezpieczyć się odpowiednimi komentarzami dla warunków określonych w definicjach funkcji. Musimy umieścić komentarz, który wyświetli się wówczas, gdy zachodzić będzie równość: ad = bc. Możemy to zrobić, wprowadzając tekst, a następnie wpisując powyższą formułę w warunku wyświetlania obiektu.
tags: #proporcjonalność #odwrotna #wzór #wykres #własności
