Transformacja Fouriera i Filtracja Sygnałów
- Szczegóły
Podstawową rzeczą do uświadomienia sobie jest to, że transformata F. Teraz szczegóły, nieco opisowe. Pytasz o czarne i białe elementy; trochę zależy od sposobu kodowania, czy białe to liczby dodatnie czy ujemne (podobnie czarne). A właściwie, czy czarne jest większe od białego, bo pewnie wartości luminancji są przedstawiane jedynie w zakresie liczb dodatnich (np.).
Widać, że dla "pionowej" częstotliwości odpowiadającej "długości fali" dwóch pól szachownicy efekt powinien być maksymalny (bo wyniki z kolejnych rzędów sumują się ze zmiennymi znakami). Czyli w transformacie wiersz odpowiadający "pionowej" częstości 1/(2*d) {d - szer. Natomiast dla "pionowej" częstości 1/d oczekujemy całego wiersza zerowego. Stąd obraz transformaty będzie przecinany "pasami" pionowymi i poziomymi o amplitudzie tożsamościowo równej zero, a w regularnych odstępach będą się pojawiać "wyspy" o niezerowych wartościach (co 1/(4*d)). Faza jej wartości zespolonej będzie zależna od położenia (w przestrzeni obrazu) narożnika szachownicy względem punktu (0,0), od którego wyliczne są funkcje sin i cos użyte do transformacji F.
Zapraszam do lektury drugiego wpisu, który dotyczy próbkowania sygnałów oraz dyskretnego przekształcenia Fouriera DFT w MATLABie. Tym razem przyjrzymy się konsekwencjom próbkowania oraz cechom widma częstotliwościowego. Po lekturze tego wpisu pojęcie symetrii DFT czy przecieku nie będzie dla Was tajemnicą!
Z poprzedniego postu wiemy, że w świecie sygnałów dyskretnych występuje niejednoznaczność związana z próbkowaniem sygnałów ciągłych: ten sam zbiór próbek może reprezentować nieskończoną liczbę sygnałów o częstotliwościach: f0 + k*fpr. Ponadto rozważania zawarte w poprzednim wpisie skierowały naszą uwagę na ważny problem: z jaką częstotliwością należy próbkować sygnał ciągły, aby otrzymany zbiór próbek zachował jego wartość informacyjną?
Oraz jakie są dalsze konsekwencje próbkowania sygnałów? Sygnał ciągły x(t) ma swoją ciągłą transformatę Fouriera. Kiedy próbkujemy taki sygnał, to otrzymujemy ciąg próbek x(n) o liczności n=1,2,…N. Jeżeli dla sygnału spróbkowanego obliczymy DFT, to otrzymamy spróbkowaną aproksymacje (przybliżenie) ciągłej transformaty Fouriera sygnału ciągłego. Im więcej próbek posiada analizowany fragment sygnału (czyli im większa częstotliwość próbkowania), tym lepiej DFT przybliża prawdziwe widmo sygnału ciągłego.
Przeczytaj także: O Filtracji Obrazów Fouriera
Weźmy następujący przykład. Sygnał ciągły zawiera dwie harmoniczne o częstotliwościach 5Hz i 15.5Hz i amplitudach odpowiednio 1 i 0.5. Sygnał próbkujemy z częstotliwością fpr=50Hz i zbieramy N=50 próbek sygnału. Do wyznaczenia widma sygnału używamy algorytmu FFT, według poniższego schematu (cały program jest na końcu tego postu).
Już na pierwszy rzut oka widać, że po obliczeniu DFT za pomocą algorytmu FFT coś jest nie tak. Obraz z ostatniego rysunku nie odpowiada rysunkowi transformaty Fouriera sygnału ciągłego. Po pierwsze prążek przy częstotliwości 15.5Hz wydaje się być rozmyty. Po drugie w widmie występuje więcej częstotliwości niż jest ich naprawdę, a widmo wydaje się być symetryczne względem połowy częstotliwości próbkowania. Po trzecie wartości harmonicznych nie odpowiadają wartościom 1 i 0.5. Gdyby więc wprost interpretować ostatni rysunek, to stwierdzilibyśmy, że w sygnale występują częstotliwości 5Hz, 45Hz o wartościach 25, oraz szereg częstotliwości bliskich 15Hz i 35Hz.. Nic bardziej mylnego!
Co się tu zatem stało? Przyjrzyjmy się temu z bliska. cech dyskretnej transformaty Fouriera.
rozdzielczość DFT w dziedzinie częstotliwości. wyznaczana DFT są opisane wyrażeniem: f_DFT = m*fpr/N, gdzie m = 0, 1, 2, …N. (N-m). tylko pierwsze N/2 jest niezależnych. np. częstotliwości, czyli 0<= m <= (N/2)-1. podstawowym. częstotliwości. jest obliczane DFT, czyli dla całkowitych wielokrotności fpr/N. np. innych N częstotliwościach obliczonego widma. 0 do fpr.
energia harmonicznej 1.5*fpr/N jakby „wycieka” na sąsiednie prążki widma. częstotliwości 15.5Hz. składowych „pomiędzy” punktami wyznaczania widma. bardziej lub mniej „rozmyty” przez efekt przecieku. jest temat na osobny artykuł. przeciekiem widma, bo faktycznie.. sygnał x(n). Jest więc dużo lepiej! Nie obserwujemy nadmiarowego pasma powyżej połowy częstotliwości próbkowania, a wartości harmonicznych odpowiadają (przynajmniej tej 5Hz) wartościom prawdziwym. Problemem wciąż jest przeciek widma wokół częstotliwości 15.5Hz. Ale to, jak już wspominałem, jest temat na osobny wpis.
Przeczytaj także: Definicja i pomiar filtracji kłębuszkowej
% dyskretny. % uzyskujemy przez ustawienie dużej częstotliwości próbkowania. % spróbkowanych odpowiedników. % częstotliwościowej.
Powoli zbliżamy się do odpowiedzi na fundamentalne pytanie o częstotliwość próbkowania sygnałów i jej wpływ na wyniki obliczeń.
Przeczytaj także: Webber AP8400 - wymiana filtrów
tags: #transformacja #fouriera #filtracja #sygnałów
