Filtracja Cyfrowa: Obliczenia DTFT i Projektowanie Filtrów
- Szczegóły
W porównaniu do filtrów analogowych, filtry cyfrowe charakteryzuje szereg zalet. Jedną z nich jest łatwość uzyskania charakterystyk częstotliwościowych o w zasadzie dowolnym kształcie w pasmie przepustowym, dużym tłumieniu w pasmie zaporowym i wąskim pasmie przejściowym, które są trudno osiągalne lub nawet niemożliwe do uzyskania w wypadku filtrów analogowych. Ponadto parametry filtrów cyfrowych można dobrać precyzyjniej, ponieważ nie ma na nie wpływu tolerancja wykonania elementów dyskretnych. Zaletą filtrów cyfrowych jest również łatwiejsze projektowanie oraz symulacja.
Dlatego są one chętnie używane w zastosowaniach, które wymagają filtrowania adaptacyjnego. Polega ono na automatycznym dostosowywaniu charakterystyki filtru do zmian sygnału na wejściu, na przykład w urządzeniach telekomunikacyjnych. Jest to wymagane m.in. Kolejna zaleta filtrów cyfrowych to możliwość uzyskania liniowej charakterystyki fazowej.
Z drugiej strony, aby filtr cyfrowy spełnił swoją funkcję w zastosowaniach wymagających przetwarzania w czasie rzeczywistym, potrzebny jest procesor DSP o odpowiedniej mocy obliczeniowej. Dlatego pasmo przenoszenia filtrów cyfrowych jest ograniczone do połowy częstotliwości próbkowania. Na to, jak długo mogą potrwać obliczenia, wpływa wiele czynników, m.in. liczba odczepów filtra. Każdy z nich wymaga bowiem wykonania operacji mnożenia i operacji dodawania (operacji multiply-accumulate, MAC).
Dlatego procesory DSP optymalizuje się pod kątem skrócenia czasu trwania tej operacji oraz implementuje w nich dodatkowe rozwiązania przyspieszające obliczenia. Mimo to, nawet jeżeli jedną instrukcję procesor DSP wykonuje w czasie kilku nanosekund, na przykład 5 ns, a "n" odczepów filtra wymaga wykonania "n" instrukcji, przeliczenie filtru złożonego przykładowo ze 100 odczepów potrwa 0,5 µs. Oznacza to, że maksymalna możliwa częstotliwość próbkowania będzie wynosić w tym przypadku 2 MHz.
Podział Filtrów Cyfrowych: FIR i IIR
Filtry cyfrowe można podzielić na dwie grupy. Do pierwszej zaliczane są filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI (Finite Impulse Response, FIR), drugą są zaś filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI (Infinite Impulse Response, IIR). Wynika z niego, że filtry NOI są rekursywne, tzn. wykorzystują sprzężenie zwrotne. Najprostszą realizacją filtru o skończonej odpowiedzi impulsowej jest filtr z ruchomą średnią (moving average). Znajduje on zastosowanie w wygładzaniu sygnałów.
Przeczytaj także: Definicja i pomiar filtracji kłębuszkowej
Zarówno filtry FIR, jak i IIR mają zalety, ale i wady. Jeżeli chodzi o te pierwsze, to do ich zalet zaliczana jest możliwość uzyskania liniowej charakterystyki fazowej, to natomiast sprawia, że wszystkie składowe sygnału są jednakowo opóźniane. Dzięki temu, że nie mają biegunów w funkcji transmitancji, ich stabilność jest pewna. Z drugiej jednak strony filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej, których charakterystyka ma spełniać specjalne wymagania, na przykład zapewniać silne tłumienie w paśmie zaporowym i strome przejście z pasma przepustowego do pasma zaporowego, wymagają dużej liczby współczynników.
Jeżeli chodzi o filtry IIR, to charakteryzuje je mniejsza złożoność obliczeniowa niż filtry SOI (wymagają mniej pamięci i wykonania mniejszej liczby operacji mnożenia i dodawania). Niestety, w związku z położeniem biegunów transmitancji możliwa jest utrata ich stabilności. Oprócz tego, w przeciwieństwie do filtrów FIR, nie można zrealizować filtru NOI, który miałby liniową charakterystykę fazową.
Projektowanie Filtrów Cyfrowych FIR
Kolejne kroki procedury projektowania filtru cyfrowego są podobne do tych, które wykonuje się, projektując filtr analogowy. Założenie, które jest podstawą wszystkich metod projektowania filtrów ze skończoną odpowiedzią impulsową, wyjaśnia rysunek 3. Wynika z niego, że po podaniu na wejście filtru FIR sygnału impulsowego sygnałem wyjściowym filtru jest zbiór jego współczynników. W związku z tym projektowanie filtrów SOI polega w uproszczeniu na wyznaczeniu odpowiedzi impulsowej na podstawie wymaganej charakterystyki częstotliwościowej filtru, a potem kwantyzacji tej pierwszej w celu wyznaczenia jego współczynników.
Na rysunku 4 przedstawiono kolejne etapy projektowania filtru FIR metodą okien czasowych. Przebieg na rysunku 4a jest charakterystyką częstotliwościową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W kolejnym kroku obcina się ją tak, aby uzyskać możliwą do realizacji liczbę odczepów N (rys. 4c). W celu likwidacji nieciągłości zakończeń otrzymanego przebiegu, które miałyby niekorzystny wpływ na parametry filtru, wykorzystuje się funkcję okna (rys. 4d), przez którą mnoży się odpowiedź impulsową, otrzymując przebieg z rysunku 4e. Wybór okna czasowego ma wpływ na parametry filtru. W kolejnej metodzie należy zdefiniować funkcję H(f) i rozwinąć ją w szereg Fouriera. W ten sposób wyznacza się współczynniki filtru. Podobnie jak w pierwszym sposobie, odpowiedź impulsową kształtuje się przez zastosowanie odpowiedniej funkcji okna.
Wadą tej metody jest trudność w uzyskaniu z dużą dokładnością wymaganych parametrów filtru. W programach komputerowych wspomagających projektowanie filtrów cyfrowych często implementuje się również algorytm Parksa-McClellana. Ten z kolei opiera się na twierdzeniu Remeza.
Przeczytaj także: Webber AP8400 - wymiana filtrów
Patrząc ogólnie na zagadnienie, można powiedzieć, że działanie filtrów cyfrowych polega na odpowiedniej manipulacji spróbkowanym sygnałem cyfrowym. Poprzez sumowanie i odejmowanie wybranych próbek przemnożonych przez odpowiednie wagi uzyskuje się pożądany kształt charakterystyki przenoszenia filtru. Do opisania zasady działania filtrów cyfrowych stosowany jest zaawansowany aparat matematyczny, zmieniający analizę sygnałów w dziedzinie czasu na dziedzinę częstotliwości (m.in. transformata Fouriera). Stąd bez matematyki można próbować zrozumieć jedynie elementarne przypadki.
Projektowanie Filtrów Cyfrowych IIR
Inaczej jest w przypadku filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Wyróżnić można trzy najczęściej wykorzystywane sposoby projektowania filtrów IIR. Są to metody: niezmienności odpowiedzi impulsowej (impulse invariance), transformacji biliniowej (bilinear transform) oraz optymalizacji (optimizatiton method). W metodzie transformacji biliniowej można wyróżnić kilka etapów. W pierwszym z nich należy wyznaczyć funkcję transmitancji H(s) dla analogowego prototypu filtru. Najpopularniejsze filtry analogowe to filtry typu: Butterwortha, Czebyszewa, eliptyczne oraz Bessela.
- Filtry Butterwortha charakteryzują się maksymalnie płaską charakterystyką amplitudową w paśmie przenoszenia.
- Filtry Czebyszewa pierwszego typu mają zafalowania w przebiegu charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym i płaski przebieg tej charakterystyki w paśmie zaporowym.
- Filtry Czebyszewa drugiego typu mają z kolei zafalowania w przebiegu charakterystyki amplitudowej w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg tej charakterystyki w paśmie przepustowym.
- Filtry eliptycznie (Cauera) mają zafalowania w przebiegu charakterystyki amplitudowej zarówno w paśmie przepustowym, jak i w paśmie zaporowym. W porównaniu do filtrów Czebyszewa o takiej samej liczbie biegunów transmitancji wyróżnia je jeszcze węższe pasmo przejściowe.
- Filtry Bessela (Thompsona) mają z kolei wyjątkowo płaską charakterystykę fazową. W porównaniu do innych filtrów przy tej samej liczbie biegunów transmitancji mają najmniejszą stromość charakterystyki amplitudowej.
W metodzie transformacji biliniowej płaszczyzna s na płaszczyznę z zostaje odwzorowana za pomocą przekształcenia dwuliniowego (biliniowego).
Narzędzia do Projektowania Filtrów Cyfrowych
Dostępnych jest wiele programów wspomagających projektowanie filtrów cyfrowych. Przykładem są Scope-FIR oraz ScopeIIR firmy Iowegian International. ScopeFIR to narzędzie do projektowania filtrów SOI kilkoma metodami. Pracę z programem rozpoczyna utworzenie nowego projektu. W pierwszych dwóch do obliczeń wykorzystywany jest algorytm Parksa-McClellana, a w trzecim metoda okien. Kolejna opcja służy do projektowania filtrów FIR o charakterystyce podniesionego kosinusa i pierwiastka z podniesionego kosinusa. Ten typ filtrów często jest wykorzystywany w telekomunikacji m.in. do usuwania skutków interferencji międzysymbolowych.
ScopeIIR to program do projektowania filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej na podstawie prototypu analogowego filtru Butterwortha, Czebyszewa albo eliptycznego. Podać trzeba: typ filtru, częstotliwość próbkowania, rząd filtru (w wersji testowej maks. 4), częstotliwości odcięcia, dopuszczalne tętnienia w pasmie przepustowym, tłumienie w paśmie zaporowym, wzmocnienie oraz oczekiwaną dokładność, z jaką wyznaczane będą współczynniki filtru. Jeżeli zaznaczona jest opcja automatic, wyniki będą automatycznie aktualizowane w razie zmiany przez użytkownika któregokolwiek z parametrów wejściowych.
Przeczytaj także: Optymalne rozcieńczenie bimbru
W Internecie można również znaleźć wiele całkowicie darmowych aplikacji online to projektowania filtrów cyfrowych. Aby z niej skorzystać, należy podać częstotliwość próbkowania i wymaganą liczbę odczepów filtru oraz opisać jego pasmo przenoszenia i tłumienia (from, to, gain, ripple/att.). Po ich zakończeniu w głównym oknie aplikacji TFilter wyświetlona zostaje charakterystyka amplitudowa filtru, a w prawej części okna - lista obliczonych współczynników. Domyślnie są one prezentowane jako tekst (plain text), ale można także zmienić ich format na C/C++ array. Wówczas jest przygotowywany fragment kodu definiujący tablicę współczynników filtru. W oknie głównym aplikacji poza wykresem Gain vs. Frequency dostępna jest też zakładka, w której wyświetlana jest odpowiedź impulsowa filtru (Impulse response) oraz zakładka Source Code.
tags: #filtracja #cyfrowa #dtft #obliczenia
