Filtracja Sygnału w Dziedzinie Częstotliwości: Teoria

Szczegóły: Opublikowano: 11. March 2026

W wielu przypadkach, podstawowe cechy sygnału można w prostszy sposób opisać w "języku" częstotliwościowym. Widmo X(ω) sygnału x(t) jest jego równoważną reprezentacją w dziedzinie częstotliwości.

Ponieważ widmo jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej ω, widmo amplitudowe sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą zmiennej ω. Widmo tych sygnałów jest zatem funkcją hermitowską, tj.

Przekształcenie Fouriera jest liniowe. Rozciągnięciu skali czasu sygnału odpowiada zawężenie skali częstotliwości jego widma i odwrotnie. Przesunięciu sygnału wzdłuż osi czasu o czas t0 odpowiada mnożenie jego widma przez czynnik ejωt0.

Mnożenie sygnału przez rzeczywisty sygnał harmoniczny o pulsacji ω0 (jego modulacja) powoduje rozczepienie widma na dwie części przesunięte wzdłuż osi pulsacji do punktów ±ω0.

Twierdzenie Rayleigha orzeka, że (z dokładnością do czynnika 2π) w przestrzeniach sygnałów L2t i widm L2ω jest zachowany iloczyn skalarny.

Przeczytaj także: Zasada Działania Filtracji Ortogonalnej

Ponieważ sygnał wykładniczy obustronny jest parzysty jego widmo jest rzeczywiste i parzyste. Jak widać, jest to sygnał dolnopasmowy. Obliczenie widma sygnału Sa wprost z definicji jest bardzo złożone. Korzystając natomiast z twierdzenia o symetrii względem wcześniej wyprowadzonej pary transformat dla impulsu prostokątnego, widmo to można wyznaczyć bez trudu. Widmo sygnału Gaussa ma również kształt krzywej Gaussa. Widmo impulsu Diraca jest stałe w całym przedziale pulsacji. Widmo sygnału harmonicznego wynika z twierdzenia o modulacji zastosowanego do pary 1↔2πδ(ω).

Ogólna postać widma sygnału okresowego o okresie T0=2π/omega0 wynika z jego rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera x(t)=∑k=−∞∞Xkejkω0t, twierdzenia o liniowości oraz pary ejkω0t↔2πδ(ω−kω0).

Widmo unipolarnej fali prostokątnej wykreślono dla dwóch różnych wartości okresu fali T0 i stałej szerokości impulsu T. W miarę zwiększania okresu prążki zagęszczają się i ich wysokości maleją.

Widmo w sensie granicznym dystrybucji grzebieniowej δT0(t) o okresie T0 jest również dystrybucją grzebieniową ω0δω0(ω) o okresie ω0=2π/T0 i jednakowych polach impulsów widmowych równych ω0.

Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego z okresem Ts wyznaczamy na podstawie twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości i właściwości powielenia okresowego dystrybucji Diraca. Widmo to jest okresowym powieleniem z okresem ωs widma X(ω) sygnału próbkowanego x(t).

Przeczytaj także: O Filtracji Sygnałów Pomiarowych

Zasada nieoznaczoności znajduje odbicie w wielu zastosowaniach praktycznych. Np. w projektowaniu cyfrowych systemów telekomunikacyjnych dąży się do przesyłania informacji za pomocą jak najkrótszych impulsów, co skraca czas transmisji, i jednocześnie do przesyłania informacji w jak najkrótszym paśmie, co zwiększa pojemność systemu.

Filtry

Filtry stanowią jedno z najważniejszych narzędzi w arsenale profesjonalnego dźwiękowca, pozwalając na wszelkiego typu obróbkę - od chirurgicznego kształtowania odpowiedzi częstotliwościowej po jej kreatywne formowanie.

Andrew Simper z Cytomic, ekspert w dziedzinie kodowania, analizując obwody i systemy analogowe, stara się odtworzyć ich nieliniowość w domenie cyfrowej.

"Wszystkie filtry pracują w oparciu o magazynowanie energii pobieranej z sygnału wejściowego. Typowymi magazynami energii w elektronice analogowej są kondensatory i cewki. W przypadku komputerów są to liczby przechowywane w pamięci operacyjnej. Szybkość zmian, jakim ulega zawartość magazynu/bufora, podlega działaniu czynnika wzmocnienia, który powszechnie nazywamy częstotliwością odcięcia (Rys. Prosty filtr dolnoprzepustowy jest urządzeniem, które wygładza raptowne zmiany w sygnale. Dokonuje tego poprzez zmagazynowanie energii i odświeżanie magazynu w bardzo szczególny sposób. Aby określić, ile tej energii dodać, obliczamy różnicę pomiędzy energią sygnału wejściowego i jej zmagazynowaną ilością, po czym część tej różnicy dodajemy do magazynu. W przypadku filtru górnoprzepustowgo magazyn jest uaktualniany w taki sam sposób, ale zamiast wyprowadzania zawartości samego magazynu, jak w filtrze dolnoprzepustowym, wyprowadzana jest różnica pomiędzy sygnałem wejściowym i tym, co znajduje się w magazynie. Częstotliwość odcięcia filtru określana jest ilość tej różnicy dodanej do magazynu.

Filtr taki nazywamy jednobiegunowym lub filtrem pierwszego rzędu, ponieważ występuje w nim tylko "jeden" magazyn energii, aktualizowany po osiągnięciu poziomu odcięcia. Ten prosty przykład dotyczy filtru liniowego. Liniowość odnosi się tutaj do kwestii wprowadzania zawartości harmonicznej, której w oryginalnym sygnale nie ma - filtry liniowe nie dodają żadnych harmonicznych, a jedynie czynią dane pasmo głośniejszym lub cichszym. Dość trudno jest to stwierdzić, jedynie spoglądając na wykresy, ale jeden z prostszych sposobów zbadania liniowości filtru polega na przepuszczeniu przezeń sygnału sinusoidalnego. Jeśli na wyjściu pojawi się również sinusoida, można mieć pewność, że filtr nie wprowadził żadnych nieliniowości.

Przeczytaj także: Biblioteki Pythona do Filtracji Sygnałów

Sygnał po filtrze dolnoprzepustowym jest nieco cichszy niż wejściowy i lekko w stosunku do niego opóźniony. Zjawiska te opisane są terminami "tłumienie" (attenuation) oraz "faza" (phase). Ten ostatni określa, o ile dane pasmo częstotliwości zostaje opóźnione względem wejścia. Ten prosty filtr powoduje lekkie opóźnienie częstotliwości wejściowej, w związku należy go określić jako filtr o nieliniowej odpowiedzi fazowej. Jeśli połączymy szeregowo dwa filtry jednobiegunowe, wówczas tłumienie danego pasma w sygnale wejściowym stanie się głębsze: w ten sposób uzyskujemy filtr "dwubiegunowy". Podobnie jeżeli kaskadowo ustawimy cztery filtry, powstanie filtr "czterobiegunowy". Przy kilku takich stopniach można też wprowadzić czynnik wzmocnienia generujący rezonans, czyli podbicie częstotliwości odcięcia. Jedyny sposób wygenerowania rezonansu polega na takim opóźnieniu częstotliwości odcięcia, że wyrównuje się ona sama ze sobą, powracając do zgodności fazowej, a następnie takim ustawieniu wzmocnienia, by nastąpiło wyrównanie amplitudy z pętlą sprzężenia zwrotnego".

Różne Konstrukcje Filtrów

Istnieje wiele różnych struktur filtrów analogowych i cyfrowych, a każda z nich pracuje w inny sposób i daje inne brzmienie. Istnieją filtry brzmiące wybitnie dobrze i wybitnie źle, i to zarówno w domenie analogowej, jak i cyfrowej. Nieliniowości generowane są przez trzy główne elementy: filtr zasadniczy, bufory oraz rezonans.

Na początek przyjrzyjmy się dolnoprzepustowemu filtrowi MS-20 mk1. Jest to filtr dwubiegunowy (12 dB/oktawę), do zmiany częstotliwości odcięcia wykorzystujące odpowiednio spolaryzowane tranzystory. Z natury są one asymetryczne, co po ich mocnym wysterowaniu skutkuje wprowadzaniem do sygnału dużej dawki harmonicznych parzystych i nieparzystych. Dwa stopnie dolnoprzepustowe są "niebuforowane" - innymi słowy, oba pozostają we wzajemnej interakcji. Sygnał jest następnie buforowany przez pracujący w zakresie największej liniowości tranzystor JFET, zatem kolejny stopień układu nie ma wpływu na poziom odcięcia stopnia poprzedniego. W następnej kolejności sygnał przechodzi przez stopień zniekształcania, stanowiący niemal wierną kopię tego z Boss OD-1 czy Ibanez Tube Screamer TS808 - to ogranicznik diodowy umieszczony w pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego wzmacniacza operacyjnego. Generuje on równoległe zniekształcenie, pomagając ograniczyć rezonans, szczególnie w przypadku pojawienia się samooscylacji. Jednak przesterowanie pojawia się w głównej ścieżce sygnałowej, dlatego słyszmy go bezpośrednio na wyjściu.

Filtr z Mooga Prodigy jest dolnoprzepustowy, czterobiegunowy (24 dB/oktawę), co oznacza, że powyżej częstotliwości odcięcia brzmi ciemniej. Bazuje na słynnej tranzystorowej strukturze drabinkowej o całkowicie różnicowej strukturze, dzięki czemu po obu stronach drabinki pojawiają się dwie wersje sygnału, dodatnia i ujemna, przy okazji eliminując w ten sposób pewną część szumów i zniekształceń nieliniowych. Te tranzystory różnicowe tworzą bufor pomiędzy jednobiegunowymi stopniami, wprowadzając symetryczne zniekształcenia, a tym samym silne harmoniczne nieparzyste. Bufor ten jest bardzo różny, w zależności od modelu, ale w Moogu Prodigy wyposażono go w dwa dodatkowe stopnie złożone z różnicowych par tranzystorowych, które wprowadzają jeszcze więcej zniekształceń, ale z niższą amplitudą niż filtr zasadniczy. Sygnał wyjściowy przesyłany jest do sekcji wzmacniacza, ale także do wejścia układu odpowiedzialnego za wzmocnienie rezonansu, po czym trafia z powrotem na wejście filtru. Ponieważ stopień wejściowy mocniej obcina sygnał niż wyjściowy, zniekształcenia ograniczające rezonans w większości wprowadzane są na wejściu.

Podsumowując, w MS-20 mamy filtr dolnoprzepustowy dwubiegunowy, w związku z czym daje on jaśniejsze brzmienie powyżej częstotliwości odcięcia. Ma on konstrukcję asymetryczną, a ograniczanie rezonansu następuje na wejściu. Następnie zostaje czterokrotnie filtrowany dolnoprzepustowo, dzięki czemu dźwięk staje się jeszcze głębszy. Oba te filtry są klasycznymi rozwiązaniami o znakomitym brzmieniu i są swoimi przeciwnościami w kontekście brzmienia i sposobu pracy. Ich cechą wspólną jest to, że sygnał po filtrowaniu dolnoprzepustowym zostaje poddany saturacji z poziomem wynikającym z ustawienia rezonansu. To oznacza, że niskie częstotliwości w sygnale wejściowym będą ‘walczyć’ z rezonansem, zwłaszcza gdy ustawimy niską częstotliwość odcięcia. Nie wszystkie filtry działają w ten sposób, na przykład, gdy do ograniczania rezonansu wykorzystamy sygnał po filtrowaniu pasmowym, to częstotliwości wejściowe mniejsze od częstotliwości odcięcia nie będą tak mocno oddziaływały z rezonansem.

Inną ważną kwestią, na jaką należy zwrócić uwagę w odniesieniu do filtrów nieliniowych, jest to, że zasadniczo częstotliwość odcięcia zmienia się w zależności od siły sygnału wejściowego. Jest to forma samomodulacji FM, a staje się wyraźnie słyszalna, gdy wysterujemy filtr nieliniowy z samooscylującym rezonansem. Liniowe filtry EQ tak się nie zachowują: częstotliwość odcięcia pozostaje tam, gdzie ją wyznaczyliśmy, co w niektórych przypadkach jest wskazane, ale brzmi nudno. Normalnie częstotliwość odcięcia ulega modulacji w dół, gdy sygnał wejściowy jest silny. Gdy przemiatamy częstotliwością odcięcia filtru nieliniowego, rezonans wykazuje tendencję do przyciągania do harmonicznych wejściowych, przez które się przesuwa. To działa jak mechanizm przyciągający i stanowi podstawę dla świetnych, pomrukujących brzmień, jakie uzyskać można przy użyciu filtrów nieliniowych.

Istnieje szereg różnych sposobów kształtowania odpowiedzi filtru. Niektóre, takie jak State Variable Filter, wyprowadzają sygnały dolno-, pasmowo- i górnoprzepustowy jednocześnie, co pozwala je zmiksować i dowolnie ukształtować charakterystykę filtracji. Niektóre filtry dają możliwość wprowadzenia sygnału w kilku punktach i formowania odpowiedzi, a zatem można ich działaniu poddać kilka różnych sygnałów jednocześnie, jeden przepuszczając przez sekcję dolnoprzepustową, drugi przez górnoprzepsutową, a trzeci przez pasmowoprzepustową, łącząc je na wyjściu. Inna metoda kształtowania charakterystyki filtracji polega na szeregowym połączeniu czterech jednobiegunowych filtrów dolnoprzepustowych, a następnie zmiksowaniu przefiltrowanych sygnałów z sygnałem wejściowym o różnych ustawieniach poziomu. W ten sposób można wygenerować charakterystykę pasmowoprzepustową, wycinającą i górnoprzepustową.

Modulacja Filtru

Korzystając z zewnętrznego wejścia w Cytomic The Drop możemy użyć dowolnego sygnału audio z DAW do sterowania modulacją. Sygnały w DAW, które wykorzystasz do modulacji, możesz poddać standardowemu sumowaniu, a następnie skierować je do wtyczki. Tworząc dźwięki źródłowe możesz użyć delaya, pogłosu, EQ, kompresji itp.

Po podaniu kopii ścieżki stopy na wejście sidechain w The Drop przechodzimy do Envelope 1, wybierając IN SC jako źródło (Source), dzięki czemu obwiednia będzie resetowana za każdym razem, gdy na wejściu pojawi się sygnał z zewnątrz. Korzystając z centralnej matrycy The Drop skonfigurujemy modulację. Aby rozchybotać częstotliwość LP przy użyciu pierwszej obwiedni, uaktywniamy LP Freq w górnym wierszu celów, po czym wybieramy ENV 1 w dolnym wierszu, odpowiadającym źródłom modulacji. Nasz zewnętrzny sygnał wyzwalający resetuje pierwszą obwiednię przy każdym uderzeniu.

UAD Moog Multimode Filter XL załadowany jest na ścieżkę z wydłużonym akordem syntezatorowym, który trafia wysyłką do delaya celem uprzestrzennienia brzmienia. 16-krokowy sekwencer we wtyczce oferuje cztery ścieżki, a każda z nich może posłużyć do modulowania jednego z 23 celów. Korzystając z drugiej ścieżki zaprogramujemy zmiany rezonansu filtru w każdej parzystej ósemce. Podobnie jak w klasycznych filtrach Mooga, wysokie ustawienia rezonansu powodują, że wtyczka generuje na wyjściu przestrajalny ton sinusoidalny. Aby odnaleźć idealne i inspirujące kombinacje ustawień parametrów, zaprogramujemy sekwencyjne zmiany wartości Cutoff, Resonance oraz Amount. Obracamy pokrętłem globalnej regulacji Swing, powodując przesunięcie nieparzystych 16-tek, co rozluźnia sztywną modulację. Na dwóch pozostałych ścieżkach zaprogramujemy modulację parametru Drive, a także skokowe przełączanie typu filtru pomiędzy pasmowym, górnoprzepustowym a wycinającym.

Praktyczne Zastosowanie Filtrów

Standardową praktyką mikserską jest takie izolowanie poszczególnych elementów miksu, aby pasma, w których operują, nie nakładały się na siebie. To pozwala zachować przejrzystość brzmienia. Szczególnie użyteczne są tutaj czyste filtry korekcyjne, górno- i dolnoprzepustowe, a wynika to stąd, że zostały stworzone do tego właśnie celu. Zupełnie nową jakość można jednak uzyskać za pomocą filtrów nieliniowych, pełniących rolę exciterów. Nieliniowe filtry typu syntezatorowego wprowadzają najwięcej zniekształceń w okolicach częstotliwości odcięcia, dlatego możemy je wykorzystać nie tylko do trzymania pasma w ryzach, ale też i do ożywienia brzmienia. Jeśli chodzi o miksowanie, to w mojej opinii najbardziej użytecznym typem jest nieliniowy, rezonujący filtr górnoprzepustowy. W okolicy częstotliwości odcięcia uzyskuje się drive, ale można też nieco podbić bas z rezonansem, co sprawi, że dół będzie brzmiał soczyście. Jest to niejako dodatek do podstawowej funkcji filtru górnoprzepustowego, czyli usuwania częstotliwości leżących poniżej progu odcięcia.

Subtelność natury nieliniowych filtrów polega na tym, że jeśli sygnał ma słabą amplitudę, wówczas mocniejsze podbicie można uzyskać z wykorzystaniem rezonansu, ponieważ do dyspozycji mamy większy zapas dynamiki. Kiedy sygnał jest mocniejszy, zaczyna konkurować z rezonansem, co ma dwojaki skutek: po pierwsze następuje ograniczenie podbicia basu w okolicy częstotliwości odcięcia, po drugie wnoszonych jest więcej zniekształceń, a to sprawia, że brzmienie staje się jaśniejsze. W obu przypadkach uzyskujemy wyraźną poprawę brzmienia poszczególnych elementów miksu, utrzymując dynamikę w ryzach. Bardzo przydatne są także nieliniowe filtry dolnoprzepustowe, które można użyć do pogrubienia brzmienia materiału dźwiękowego i uczynienia go cieplejszym i bliższym. Częstotliwość odcięcia ustawiamy dość wysoko - zwykle w okolicach 14-16 kHz, ponieważ można w ten sposób pozbyć się syku i szumu, jednak w nie nazbyt nachalny sposób. Należy wyregulować wysterowanie filtru w taki sposób, aby delikatnie wprowadzał częstotliwości harmoniczne, wypełniające wysokie partie spektrum.

Filtry pasmowoprzepustowe w większości sytuacji mogą zaszkodzić, ale doskonale sprawdzają się w tworzeniu efektów specjalnych, na przykład przy przekształcaniu szumu w świszczące dźwięki, czy też wprowadzaniu ruchu w brzmienie hi-hatu i barw typu lead. Innym ich zastosowaniem jest zmiana potężnie brzmiącego elementu miksu w element brzmiący rachitycznie, co wprowadza pewien kontrast.

Wymagania Wstępne

Znajomość zasad rachunku całkowego i różniczkowego.
Biegłość w wyznaczaniu całek oznaczonych z funkcji trygonometrycznych, wykładniczych, potęgowych i wielomianów.
Umiejętność analizowania przebiegu zmienności funkcji.
Znajomość zagadnień związanych z ciągami i szeregami liczbowymi.
Umiejętność określania zbieżności szeregów wg. różnych kryteriów.

Kluczowe Pojęcia

Pojęcie modelu.
Sygnały harmoniczne rzeczywiste i zespolone.
Ortogonalność sygnałów.
Problem aproksymacji funkcji.
Zbieżność szeregu Fouriera.
Twierdzenie Parsevala dla przekształcenia Fouriera.
Definicje.

Literatura

J. M. Pasko, J. Walczak, Teoria Sygnałów, Wyd.
J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma, Teoria Sygnałów.
E. R. Gabel, R. R. A. A. Oppenheim, A. Wilsky, I. K. Snopek, J. Wojciechowski, Sygnały i systemy.
Zbiór zadań, O.Wyd.
M. Tadeusiewicz, M. Ossowski, Sygnały i systemy. Zadania, Wyd.

tags: #filtracja #sygnału #w #dziedzinie #częstotliwości #teoria